Herr Müller will von Stefan wissen, wie man die ß-Werte eigentlich berechnet. Stefan Klein erzählt ihm, dass er hierzu einer Masterstudentin mal über die Schulter gesehen hat. Im Studiengang „Risikomanagement - Management von unternehmerischen Risiken“ an der Hochschule in Stendal hat man dies im Rahmen eines Projekts gemacht, um zu zeigen, wie einfach dies ist. Es geht darum festzustellen, ob die Renditen (r) einer Unternehmung i stärker oder schwächer als die Renditen des Marktes M (Index) schwanken. $$ r_i=n + ß \cdot r_M $$ Der gesuchte ß-Wert ist das m der obigen Geradengleichung (y = n + m · x). Wenn ß > 0 ist, dann schwanken die Rendite der Aktie stärker als die Rendite des Marktes. Wenn die Rendite der Aktie weniger schwankt als die des Marktes, dann muss ß kleiner 1 sein. Dann hat man sich im Internet einfach historische Daten des DAX (das Marktportfolio M) und einer Aktie, nehmen wir mal die Daimler AG (Unternehmumg i), heruntergeladen. Der Dozent sagte noch, dass der DAX nicht gerade das Marktportfolio sei, aber dies sei nicht entscheidend. Die folgende Graphik zeigt die Entwicklung der Kurse des Dax und der Daimler AG:

Auf der linken Achse findet man die Skalierung für den Dax, der in diesem Zeitraum von etwa 11.000 auf über 15.000 steigt. Auf der rechten Seite ist die Skalierung für die Kurse der Daimler AG abgetragen, die etwas über 30 auf über 70 angestiegen ist. Herr Müller hatte sich solche Bilder noch nie richtig angesehen und will wissen, ob solche Anstiege üblich seien. Stephan lacht und sagt, dass dies eher ungewöhnlich sei. Die Kurse seien im März 2020 zu Beginn der ersten Welle der COVID-Pandemie eingebrochen und Mitte März ihren Tiefpunkt erreicht. Damals stürzte der DAX von über 13.000 auf unter 9.000.

Da die Gruppe die sogenannten 250 – ß-Werte berechnen wollen, haben sie die Werte für ein ganzes Jahr genommen. Herr Müller wundert sich, da das Jahr doch 365 Tage habe. Die Börse ist aber an Samstagen sowie Sonn- und Feiertagen geschlossen, so dass etwa 250 Tage übrigbleiben. Dann haben Sie die sogenannten stetigen Renditen berechnet. Auch dieses erzeugt Stirnrunzel. Stefan erklärt, dass man üblicherweise immer diskrete Renditen berechnet, also
rM = (Kurst-1) / Kurst-1
Bei der Analyse der Daten auf den Finanzmärkten hat sich aber eingebürgert, dass man mit stetigen Renditen rechnet, da dies einige Vorteile hat und sehr einfach geht.
rM = ln(Kurst) – ln(Kurst-1)
Man nimmt den natürlichen Logarithmus der Kurswerte, was sich in jedem Kalkulationsprogramm einfach machen lässt. Wir logarithmieren den Schluss-Kurs des Dax (10.861,64€) am 30.04.2020 und erhalten den Wert 9,29299, für den Wert vom 29.04.2020 (11.107,74€) erhalten wir den Wert 9,31540.
rM = ln(10.861,64) – ln(11.107,74) = 9,31540 - 9,29299 = -0,02240485= -2,240485% Der Dax war um 2,24% gefallen.
Nun berechnen wir alle Renditen für den DAX und natürlich auch die für die Aktien der Daimler AG. Auch diese Werte haben sie dann in einem Schaubild abgetragen:

Das geht munter auf und ab, stellt Frau Müller fest. Klein erläutert, dass das das Risiko einer Anlage finanzieller Mittel in Aktien ist. Herr Meyer bemerkt, dass die Renditen der Daimler AG stärker schwanken, da die großen Ausschläge nach oben und unten die des DAX übertreffen. Vermutlich ist das auch so, aber wir wenden nun die Methode der kleinsten Quadrate an und berechnen die Regressionsgrade:$$ r_i=n + ß \cdot r_M $$ Das geht z.B. in Excel ganz einfach mit der „Formel rgp“.
Die Syntax laute:
RGP(Y_Werte;[X_Werte];[Konstante];[Stats]).
Die Y-Werte sind die Renditen der Aktien der Daimler AG, die X-Werte die des DAX. Dann geben wir zweimal die „1“ ein, damit die Statistischen Werte ausgeworfen werden. Dann bekommen wir blitzschnell die Ergebnisse:

Die Regressionsgerade, die uns die Abhängigkeit der Renditen der Daimler AG vom DAX wiedergibt, lautet: $$ r_i=0,00179840 + 1,25543627 \cdot r_M $$ Wir sehen gleich, dass der ß-Wert bei rund 1,25 liegt.
Kann man das auch „sichtbar“ mache, fragt Herr Meyer. Natürlich kann man in Excel eine Punktwolke und die Regressionsgerade darstellen, sagt Stefan und sieht, dass ihm die beiden nicht mehr folgen können. So führt er aus. Die Punktwolke entsteht, wenn wir zu jeder Rendite des Dax die Rendite der Daimler Aktie des gleichen Tages abtragen. So bekommen wir in unserem Fall 250 Punkte:

Die Punkte liegen aber nicht alle auf der Regressionsgeraden, stellen die beiden fest.
Klein denkt an seine Statistik-Vorlesung zurück und sagt stolz, dass dies nur dann der Fall wäre, wenn das Bestimmtheitsmaß gleich 1 sei.
Wer oder was soll gleich 1 sein, wollen die beiden wissen. Sehen wir uns nochmal die Ergebnisse der Regression an.

In den hellblauen Felder finden wir das Bestimmtheitsmaß R², welches 0,5555. beträgt.
Dies spiegelt wider, dass die Punkte um die Regressionsgerade streuen, wie man sagt. Der Zusammenhang zwischen den Renditen existiert, ist aber nicht sehr eng.
Was ist in dem gelben Feld, wollen die beiden nun wissen. Die 250 zeigen nur an, dass wir tatsächlich mit 250 Werten gerechnet haben und somit ein 250 Tage ß erhalten haben. Die übrigen Werte kann auch ich noch nicht erklären, man sagte mir, dass dies in der Fortgeschrittenen – Veranstaltung folgt.
Wichtig ist nun, dass das sogenannte systematische Risiko der Aktien der Daimler AG höher ist als das des Marktes (sprich: DAX). Insofern muss die Daimler AG eine 1,25-fach so hohe Eigenkapitalrendite erwirtschaften, damit das gegenüber dem Markt höhere Risiko ausgeglichen wird.
Warum das so ist, klären wir noch an anderer Stelle, genauso gehen wir dann auf die Unterscheidung zwischen systematischem und unsystematischem Risiko ein und wie man beides feststellen kann.